Question

【題目】設(shè)A，B為曲線C：上兩點，A與B的橫坐標之和為4.

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）y＝x＋7..

【解析】

（1）設(shè)兩點坐標，代入拋物線方程　相減后可求得的斜率；

（2）由C在M處的切線與直線AB平行，可求得切點坐標，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，代入拋物線方程可得中點為，AM⊥BM等價于，這樣可求得值．

解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率.

(2)由，得.

設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知，解得x3＝2，于是M(2，1)．

設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

將y＝x＋m代入得x2－4x－4m＝0.

當Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1時，.

從而.

由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即，解得m＝7.

所以直線AB的方程為y＝x＋7.