【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．若（為原點(diǎn)），且，求證：直線的斜率與直線MN的斜率之積為定值．

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)由題意可得，運(yùn)用離心率公式和，，的關(guān)系，可得，，進(jìn)而得到所求橢圓方程;

(2)由題意設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，由，運(yùn)用斜率之積為，可以得出的值，結(jié)合即可得結(jié)果.

(1)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，

又，

可得，，

所以橢圓的方程為.

(2)由題意設(shè).

設(shè)直線的斜率為，

又，則直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立整理得，

可得，代入得，

進(jìn)而直線的斜率.

在中，令，得.

由題意得，所以直線的斜率為.

由，得，化簡(jiǎn)得.

∴.

所以直線與直線的斜率之積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣2，0），B ，M（x，y）是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且直線AM與BM的斜率之積等于.

（1）求曲線C方程；

（2）過(guò)D（2，0）的直線l（l與x軸不垂直）與曲線C交于E，F兩點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為F′，直線EF′與x軸交于點(diǎn)P，求△PEF的面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知．

（1）求角A；

（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為的菱形，為中點(diǎn)，連接.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若平面平面，且二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、、均在拋物線上.

（1）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

（2）當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值及直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于一個(gè)向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長(zhǎng)向量”

（1）若是向量組的“長(zhǎng)向量”，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知，，均是向量組的“長(zhǎng)向量”，試探究，，的等量關(guān)系并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大型工廠招聘到一大批新員工．為了解員工對(duì)工作的熟練程度，從中隨機(jī)抽取100人組成樣本，并統(tǒng)計(jì)他們的日加工零件數(shù)，得到以下數(shù)據(jù)；

(1)已知日加工零件數(shù)在范圍內(nèi)的5名員工中，有3名男工，2名女工，現(xiàn)從中任取兩名進(jìn)行指導(dǎo)，求他們性別不同的概率；

(2)完成頻率分布直方圖，并估計(jì)全體新員工每天加工零件數(shù)的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以中點(diǎn)值代替)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，是等邊三角形，，，分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1.已知，且四邊形的面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，，都在拋物線上（如圖2），求正方形面積的最小值.

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