Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）如果對所有的≥1，都有≤，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）先對函數(shù)求導，再對的取值范圍進行討論，即可得的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，先對函數(shù)求導，再對的取值范圍進行討論函數(shù)的單調(diào)性，進而可得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）的定義域為，2分

當時，，當時，3分

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 5分

（Ⅱ）法一：設(shè)，則

因為≥1，所以7分

（ⅰ）當時，，，所以在單調(diào)遞減，而，所以對所有的≥1，≤0，即≤；

（ⅱ）當時，，若，則，單調(diào)遞增，而，所以當時，，即；

（ⅲ）當時，，，所以在單調(diào)遞增，而，所以對所有的≥1，，即；

綜上，的取值范圍是12分

法二：當≥1時，≤ 6分

令，則7分

令，則，當≥1時，8分

于是在上為減函數(shù)，從而，因此， 9分

于是在上為減函數(shù)，所以當時有最大值， 11分

故，即的取值范圍是. 12分