(本小題滿分14分)
在平面直角坐標系
中,已知圓
和圓
.
(1)若直線
過點
,且被圓
截得的弦長為
,求直線
的方程;
(2)在平面內(nèi)是否存在一點
,使得過點
有無窮多對互相垂直的直線
和
,它們分別與圓
和圓
相交,且直線
被圓
截得的弦長的
倍與直線
被圓
截得的弦長相等?若存在,求出所有滿足條件的
點的坐標;若不存在,請說明理由.
(1)若直線
的斜率不存在,則過點
的直線為
,此時圓心
到直線
的距離為
,
被圓
截得的弦長為
,符合題意,所以直線
為所求. …………2分
若直線
的斜率存在,可設(shè)直線
的方程為
,即
,
所以圓心
到直線
的距離
. …………3分
又直線
被圓
截得的弦長為
,圓
的半徑為4,所以圓心
到直線
的距離應(yīng)為
,即有
,解得:
. …………4分
因此,所求直線
的方程為
或
,
即
或
. …………5分
(2) 設(shè)
點坐標為
,直線
的斜率為
(不妨設(shè)
,則
的方程分別為:
即
,
即
. …………6分
因為直線
被圓
截得的弦長的
倍與直線
被圓
截得的弦長相等,又已知圓
的半徑是圓
的半徑的
倍.由垂徑定理得:圓心
到直線
的距離的
倍與
直線
的距離相等.w .m
…………7分
故有
, …………10分
化簡得:
,
即有
或
.
…………11分
由于關(guān)于
的方程有無窮多解,所以有
或
, …………12分
解之得:
或
, …………13分
所以所有滿足條件的
點坐標為
或
. …………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
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圓過點
,圓心在
上,并與直線
相切,求該圓的方程。
(12分)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分9分)如圖,已知⊙
與⊙
外
切于點
,
是兩圓的外公切線,
,
為切
點,
與
的延長線相交于點
,延長
交⊙
于 點
,點
在
延長線上.
(1)求證:
是直角三角形;
(2)若
,試判斷
與
能否一定垂直?并說明理由.
(3)在(2)的條件下,若
,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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(幾何證明選講選做題)已知PA是圓O的切線,切點為A,PA=2.AC是圓O的直徑,PC與圓O交于點B,PB=1,則圓O的半徑為R= 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:解答題
已知圓
C1:x2+y2-4x-2y-5=0,圓
C2:x2+y2+2x-2y-14=0.
(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系;
(2)直線ι過點(6,3)與圓C
1相交于A,B兩點,且|AB|=
2,求直線ι的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知⊙
及點A(1,3),BC為
的任意一條直徑,則
=( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一動圓與圓
外切,同時與圓
內(nèi)切,則動圓圓心的軌跡方程是[
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