Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x﹣1≠0得x≠0，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）
（2）解：∵f（x）= =

∴f（﹣x）= =

∴函數(shù)f（x）為定義域上的偶函數(shù)．

（3）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞1

∴2x﹣1＞0，

∴ ，

∴ ＞0

∵f（x）為定義域上的偶函數(shù)

∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0

∴f（x）＞0成立

【解析】（1）由分母不能為零得2x﹣1≠0求解即可．要注意定義域要寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，只要再判斷f（x）與f（﹣x）的關(guān)系即可，但要注意作適當(dāng)?shù)淖冃危��?）在（2）的基礎(chǔ)上要證明對(duì)稱區(qū)間上成立可即可．不妨證明：當(dāng)x＞0時(shí)，則有2x＞1進(jìn)而有2x﹣1＞0， 然后得到 ＞0．再由奇偶性得到對(duì)稱區(qū)間上的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對(duì)函數(shù)的值域的理解，了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的．