【題目】若函數(shù)的圖像與的圖像交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）設(shè)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的取值范圍，求，求出單調(diào)區(qū)間，確定極值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求解；

（2）將所證的不等式用表示，，再令，轉(zhuǎn)化為證明 ，再等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，，利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明不等式.

（1）設(shè)，

題意即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以時(shí)，取得極小值，

也是最小值為

若即，則至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

若即，則由，

知在存在一個(gè)零點(diǎn)，

又.

設(shè)在上恒成立，

，所以.

所以在存在一個(gè)零點(diǎn)，

從而有個(gè)兩個(gè)不同零點(diǎn)，滿足題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）要證只要證

只需證

不妨設(shè)，即證

要證，只需證，

設(shè)，則

所以在上為增函數(shù)，

從而，即成立.

要證，只需證

設(shè).則

所以在上為減函數(shù)，從而，

即中上成立，

所以成立，即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式（b，c為大于0的常數(shù)）.按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

尺寸x（mm）

38

48

58

68

78

88

質(zhì)量

16.8

18.8

20.7

22.4

24

25.5

質(zhì)量與尺寸的比

0.442

0.392

0.357

0.329

0.308

0.290

（1）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件，求選中的2件均為優(yōu)等品的概率；

（2）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

75.3

24.6

18.3

101.4

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程.

附：對(duì)于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在矩形中，，沿直線BD將△ABD折成，使得點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線 ,與平面中所成的角分別為，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某生活超市有一專柜預(yù)代理銷售甲乙兩家公司的一種可相互替代的日常生活用品．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間分別單獨(dú)試銷甲乙兩家公司的商品，從銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)各抽取50天，統(tǒng)計(jì)每日的銷售數(shù)量，得到如下的頻數(shù)分布條形圖．甲乙兩家公司給該超市的日利潤(rùn)方案為：甲公司給超市每天基本費(fèi)用為90元，另外每銷售一件提成1元；乙公司給超市每天的基本費(fèi)用為130元，每日銷售數(shù)量不超過(guò)83件沒(méi)有提成，超過(guò)83件的部分每件提成10元．

（Ⅰ）求乙公司給超市的日利潤(rùn)（單位：元）與日銷售數(shù)量的函數(shù)關(guān)系；

（Ⅱ）若將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題：

（1）求甲公司產(chǎn)品銷售數(shù)量不超過(guò)87件的概率；

（2）如果僅從日均利潤(rùn)的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為超市作出抉擇，選擇哪家公司的產(chǎn)品進(jìn)行銷售？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某廠加工的零件按箱出廠，每箱有10個(gè)零件，在出廠之前需要對(duì)每箱的零件作檢驗(yàn)，人工檢驗(yàn)方法如下：先從每箱的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗(yàn)；若抽取的零件至少有1個(gè)至多有3個(gè)次品，則對(duì)剩下的6個(gè)零件逐一檢驗(yàn).已知每個(gè)零件檢驗(yàn)合格的概率為0.8，每個(gè)零件是否檢驗(yàn)合格相互獨(dú)立，且每個(gè)零件的人工檢驗(yàn)費(fèi)為2元.

（1）設(shè)1箱零件人工檢驗(yàn)總費(fèi)用為元，求的分布列；

（2）除了人工檢驗(yàn)方法外還有機(jī)器檢驗(yàn)方法，機(jī)器檢驗(yàn)需要對(duì)每箱的每個(gè)零件作檢驗(yàn)，每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，在人工檢驗(yàn)與機(jī)器檢驗(yàn)中，應(yīng)該選擇哪一個(gè)？說(shuō)明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為DC中點(diǎn)，F在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的外接球的表面積最小值為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為的中點(diǎn)，平面，點(diǎn)在上，，為與的交點(diǎn)，且與平面所成的角為．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

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