【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在實(shí)數(shù)x使f(x)<2成立.
(1)求不等式f(x)>8的解;
(2)若α,β≥1,f(α)+f(β)=4,求證:.
【答案】(1) {x|x或x};(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)由絕對(duì)值三角不等式可得|x﹣m|+|x|≥|m|,根據(jù)存在實(shí)數(shù)x使f(x)<2成立,求出實(shí)數(shù)m的值,然后解不等式f(x)>8即可.
(2)先由條件求出α+β=3,從而得到,再利用基本不等式求出最小值即可證明結(jié)論.
(1)因?yàn)?/span>|x﹣m|+|x|≥|(x﹣m)﹣x|=|m|,
所以由存在實(shí)數(shù)x使f(x)<2成立,可得|m|<2,
所以﹣2<m<2,因?yàn)?/span>m∈N*,所以m=1,
所以f(x)=|x﹣1|+|x|.
因?yàn)?/span>f(x)>8,所以或,
所以x或x,
所以不等式的解集為{x|x或x};
(2)因?yàn)?/span>α,β≥1,所以f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=4,則α+β=3,
所以3,
當(dāng)且僅當(dāng),即α=2,β=1時(shí)取等號(hào),
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)是直角斜邊上一動(dòng)點(diǎn),將直角沿著翻折,使與構(gòu)成直二面角,則翻折后的最小值是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0(m∈R).
(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;
(2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若直線l的傾斜角為120°,求弦AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩縣城和相距,現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外位于線段上選擇一點(diǎn)建造一個(gè)兩縣城的公共垃圾處理廠,已知垃圾處理廠對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離關(guān)系最大,其他因素影響較小暫時(shí)不考慮,垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為對(duì)城與城的影響度之和. 記點(diǎn)到城的距離為,建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明:垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比,比例系數(shù)2.7;垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比,比例系數(shù)為 ;且當(dāng)垃圾處理廠與城距離為時(shí)對(duì)城和城的總影響度為0.029.
(1) 將表示成的函數(shù);
(2) 討論⑴中函數(shù)的單調(diào)性,并判斷在線段上是否存在一點(diǎn),使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最。咳舸嬖,求出該點(diǎn)到城的距離;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、是兩個(gè)不同的平面,、是兩條不同的直線,有下列命題:
①如果,,,那么;
②如果,,那么;
③如果,,那么;
④如果平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等,那么;
其中正確的命題是( )
A.①②B.②③C.②④D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,動(dòng)圓與圓外切,且與直線相切,該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)A的切線與交于點(diǎn)N,求面積的最小值.
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