Question

已知向量

OA

，

OB

是夾角為60°的兩個單位向量，點C，D滿足

AC

=

.

CD

=

DB

，動點P滿足

DP

•

OC

=0，且

OP

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），則xy的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：由

AC

=

.

CD

=

DB

，知C、D為線段AB的三等分點，從而可用向量

OA

，

OB

表示向量

OC

，

OD

，則

DP

•

OC

=0，可化為（

OP

-

OD

）•

OC

=0，即（x

OA

+y

OB

-

1

3

OA

-

2

3

OB

）•（

2

3

OA

+

1

3

OB

）=0，利用向量數(shù)量積運算整理可得5x+4y-

13

3

=0，消掉y可把xy化為x的二次函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)可求答案．

解答： 解：∵

OA

，

OB

是夾角為60°的兩個單位向量，
∴

OA

•

OB

=

1

2

，
∵

AC

=

.

CD

=

DB

，
∴C、D為線段AB的三等分點，

OC

=

OA

+

1

3

AB

=

OA

+

1

3

(

OB

-

OA

)=

2

3

OA

+

1

3

OB

，

OD

=

OA

+

2

3

AB

=

OA

+

2

3

(

OB

-

OA

)=

1

3

OA

+

2

3

OB

，
則

DP

•

OC

=0，即（

OP

-

OD

）•

OC

=0，
∴（x

OA

+y

OB

-

1

3

OA

-

2

3

OB

）•（

2

3

OA

+

1

3

OB

）=0，
∴5x+4y-

13

3

=0，
則xy=x（

13

12

-

5

4

x）=-

5

4

(x-

13

30

)2+

169

720

，
∴當(dāng)x=

13

30

時xy取得最大值

169

720

，
故答案為：

169

720

．

點評：本題考查平面向量基本定理、向量數(shù)量積運算及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力．