Question

已知正項數(shù)列{a_n}的首項a₁=m，其中0＜m＜1，函數(shù)f(x)=

x

1+2x

．
（1）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），證明{

1

an

}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

2n+1

，試證明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、求數(shù)列的通項公式、求數(shù)列的前n項和、裂項法求和等數(shù)列知識和方法，
（1）根據(jù)所給函數(shù)f(x)=

x

1+2x

及a_n+1=f（a_n）可得數(shù)列的遞推關(guān)系，由此獲得

1

an+1

=

1

an

+2，數(shù)列{

1

an

}是等差
數(shù)列得證，并由{

1

an

}的通項公式進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù){a_n}滿足a_n+1≤f（a_n）可得

1

an+1

-

1

an

≥2，由此推得

1

an

-

1

a1

≥2(n-1)，然后由數(shù)列{bn}滿足bn=

an

2n+1

即得b1+b2+ … +bn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

，由此問題得證．

解答：解：（1）∵f（x）=

x

1+2x

∴an+1=f(an) =

an

1+2an

∴

1

an+1

=

1

an

+2
∴{

1

an

}是公差為2的等差數(shù)列
又a1=m，∴

1

a1

=

1

m

∴

1

an

=

1

m

+2(n-1)
∴an=

m

1+2(n-1)m

（2）由（1）知0＜a_n+1≤

an

1+2an

∴

1

an+1

-

1

an

≥2
∴

1

a2

-

1

a1

≥ 2，

1

a3

-

1

a2

≥2，…，

1

an+1

-

1

an

≥2，
則

1

an

-

1

a1

≥2(n-1)
而a₁=m，則an≤

m

1+2(n-1)m

∵0＜m＜1，∴

1

m

＞1
∴a1≤

m

1+2(i-1)m

=

1

1 m +2(i-1)

，i=1，2，3，…，n
∴bi=

ai

1+2i

≤

1

(2i+1)(2i-1)

=

1

2

(

1

2i-1

-

1

2i+1

)，i=1，2，3，…，n
∴b1+b2+…+bn=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

；
∴b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

點評：本題綜合性較強(qiáng)，涉及了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、通項公式、求和公式等，注意解題思路分析，避免因為題意不清走了彎路，這點對于該題特別重要；
注意（2）中所使用的累加法，通過

1

a2

-

1

a1

≥ 2，

1

a3

-

1

a2

≥ 2，…，

1

an+1

-

1

an

≥2的累加，獲得結(jié)果

1

an

-

1

a1

≥2(n-1)，從而是問題得以解決；
在證明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

時，仍然使用了數(shù)列求和中常用的“裂項法”，使其和最終化為

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

而得到解決．