已知函數(shù),,
(1)若,求曲線在處的切線方程;
(2)若對(duì)任意的,都有恒成立,求的最小值;
(3)設(shè),,若,為曲線的兩個(gè)不同點(diǎn),滿足,且,使得曲線在處的切線與直線AB平行,求證:
(1);(2)1;(3)證明過程詳見解析
【解析】
試題分析:
第一問,當(dāng)時(shí),先求出的解析式,對(duì)求導(dǎo),將代入到中得到切線的斜率,將代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo),最后用點(diǎn)斜式寫出切線方程;第二問,本問是恒成立問題,先轉(zhuǎn)化成恒成立,即構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最小值大于等于0即可,對(duì)求導(dǎo)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論,分和,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,判斷是否符合題意;第三問,先利用已知條件求出解析式,求出直線AB的斜率,通過對(duì)求導(dǎo),求出曲線在處的切線的斜率,由于兩直線平行,所以兩斜率相等,由于,所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,用分析法得欲證,需證明,通過變形得,即,構(gòu)造新函數(shù),通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值,只需證明最小值大于0即可
試題解析:(1),斜率,
所以,曲線在處的切線方程為 2分
(2) 恒成立恒成立
令,,,,
(。┤,則恒成立,∴函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù),
恒成立,又∵,∴符合條件
(ⅱ)若,由,可得,解得和(舍去)
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
∴
恒成立矛盾
綜上,a的最小值為1 7分
(Ⅲ),
又∵,∴,∴
由,,易知其在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)
欲證證明
即,變形可得:
令,,原不等式等價(jià)于,等價(jià)于
構(gòu)造函數(shù),
則,,令,,
當(dāng)時(shí),,
∴在上為單調(diào)遞增函數(shù),
∴在上為單調(diào)遞增函數(shù),
∴,
∴在上恒成立
∴成立,∴得證
考點(diǎn):1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值
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