Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）求證：函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求a的值；
（3）當(dāng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)增函數(shù)的定義證明即可；
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0，求得a，再驗(yàn)證函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)．
（3）利用（1）得出是增函數(shù)的結(jié)論，求解即可．

解答：解：（1）證明：任取x₁＜x₂∈R則f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵x₁＜x₂ 2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0故f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）因函數(shù)f（x）在x=0 有意義，又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=0
即f(0)=a-

1

2

=0，得a=

1

2

，
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（-x）=-f（x），函數(shù)是奇函數(shù)．
∴a的值為

1

2

（3）根據(jù)①函數(shù)是增函數(shù)，x∈[-1，2]時(shí)，f（-1）≤f（x）≤f（2），
∵f（-1）=-

1

6

，f（2）=

3

10

∴函數(shù)的值域是[-

1

6

，

3

10

]

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及函數(shù)的值域．