【題目】某臺函數(shù)計算器上有一個顯示屏和兩個操作鍵．若按一下第一個操作鍵，則將原顯示屏上的數(shù)變?yōu)?/span>（表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)）；若按一下第二個操作鍵，則將原顯示屏上的數(shù)變?yōu)?/span>．稱按一下任意一個操作鍵為一次操作．現(xiàn)在顯示屏上的數(shù)為1．問：

（1）是否可以經(jīng)過有限次操作，顯示屏上出現(xiàn)整數(shù)2000？說明理由．

（2）小于2000的整數(shù)中有多少個數(shù)可以經(jīng)過有限次操作在顯示屏上出現(xiàn)？

【答案】（1）見解析；（2）233

【解析】

（1）不可能．

將數(shù)化成二進制．則按第一個操作鍵表示將顯示屏上的數(shù)的最后一位去掉；按第二個操作鍵表示將顯示屏上的數(shù)后面加上01．

當初始數(shù)為1時，經(jīng)過以上兩種操作后得到的數(shù)沒有兩個1相鄰，而2000化成二進制為，其中有兩個1相鄰，從而，顯示屏上不可能出現(xiàn)整數(shù)2000．

（2）若先進行第二種操作，后進行第一種操作，則相當于在原數(shù)后加一個0．故任意一個二進制中沒有兩個1相鄰的數(shù)均可以經(jīng)過有限次操作可得．

于是，在顯示屏上可以出現(xiàn)小于2000的整數(shù)的個數(shù)等價于不大于，且沒有兩個1相鄰的自然數(shù)的個數(shù)．

又含有個1且不大于的自然數(shù)有個，從而，滿足條件的自然數(shù)個數(shù)為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若和在有相同的單調(diào)區(qū)間，求的取值范圍；

（Ⅱ）令（），若在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．

（i）求的取值范圍；

（ii）設(shè)兩個極值點分別為， ，證明： ．

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【題目】如圖，已知定點，點P是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點.

（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）過定點且斜率為的直線與的軌跡交于兩點，若，求點到直線的距離.

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【題目】已知函數(shù).

（1）求在區(qū)間上的值域；

（2）若過點存在條直線與曲線相切，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖如圖所示，則函數(shù)的解析式為___________，方程的實根個數(shù)為__________.

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【題目】如圖,在四棱錐中,棱底面,且, , , 是的中點.

(1)求證: 平面；

(2)求三棱錐的體積.

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【題目】如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)面中心為O，點E是側(cè)棱上的一個動點，有下列判斷，正確的是（ ）

A.直三棱柱側(cè)面積是B.直三棱柱體積是

C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為

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【題目】已知圓：，過點的動直線與圓交于、兩點，為坐標原點，且.

(1)求的軌跡方程；

(2)當時，求的方程及的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，海島O上有一座海拔300m的山，山頂上設(shè)有一個觀察站A．上午11時測得一輪船在島北偏東的B處，俯角為；11時20分又測得該船在島的北偏西的C處，俯角為．

（1）該船的速度為每小時多少千米？

（2）若此船以不變的航速繼續(xù)前進，則它何時到達島的正西方向？此時船離開島多少千米？（精確到lm）

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