Question

在三角形ABC中，其三邊分別為AB=c，AC=b，BC=a
（1）若c=5，求acosB+bcosA的值；
（2）若sinA=sinCcosB，判斷三角形ABC形狀ABC．
（3）若三角形ABC是直角三角形，sinA=ksinCcosB，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡所求，將c的值代入計算即可求出值；
（2）已知等式變形后利用正弦定理化簡，整理后利用勾股定理的逆定理即可做出判斷；
（3）根據題意分A=90°，B=90°，C=90°三種情況考慮，求出k的范圍即可．

解答：解：（1）∵c=5，∴利用正弦定理得：acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=c=5；
（2）∵sinA=sinCcosB，
∴

sinA

sinC

=cosB，
∴

a

c

=

a2+c2-b2

2ac

，
整理得：c²=a²+b²，
則三角形ABC為直角三角形；        
（3）若A=90°，則B+C=90°，
∴sinC=cosB，
∴1=ksin²C，
∵0＜C＜90°，
∴0＜sin²C＜1，
∴k＞1；
若B=90°，則sinA=0，∴k不存在；                          
若C=90°，則A+B=90°，
∴sinA=cosB，
∴k=1，
綜上，k≥1．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，熟練掌握定理是解本題的關鍵．