（1）求證：對任意的正實數(shù)x，不等式數(shù)學(xué)公式都成立．
（2）求證：對任意的n∈N*，不等式數(shù)學(xué)公式總成立．

（1）證明：設(shè)函數(shù)，則．令f'（x）=0，得x=．
當(dāng)時，f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在上遞增；
當(dāng)時，f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在上遞減；
所以，對任意的x＞0，不等式總成立．
（2）證明：由（1）知：對x∈（0，+∞）均有，故．
當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；
當(dāng)n≥2時，有：．
綜上可知，對任意的n∈N*，不等式成立．
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可證得結(jié)論；
（2）由（1）知：對x∈（0，+∞）均有，故，由此利用放縮法及裂項法，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)、確定函數(shù)的單調(diào)性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求證：對任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小為60°，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)，
（I）當(dāng)a=1時，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)c的取值范圍；
（II）當(dāng)a≥
1
2
時，（1）求證：對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是c≤
3
4
；
（2）若關(guān)于x的實系數(shù)方程g′（x）=0有兩個實根α，β，求證：|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是-
1
4
≤c≤a2-a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•汕頭二模）在數(shù)列{an}中，a1=1、a2=
1
4
，且an+1=
(n-1)an
n-an
(n≥2)．
（Ⅰ） 求a3、a4，猜想an的表達式，并加以證明；
（Ⅱ） 設(shè)bn=
an•an+1
an
+
an+1
，求證：對任意的自然數(shù)n∈N*，都有b1+b2+…+bn＜
n
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C：x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0，其中常數(shù)k≠-1；
（1）求證：對任意的k，曲線C是圓，并且圓心在同一條直線上；
（2）證明：曲線C過定點；
（3）若曲線C與x軸相切，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求證：對任意的正實數(shù)x，不等式
lnx
x2
≤
1
2e
都成立．
（2）求證：對任意的n∈N*，不等式
ln1
14
+
ln2
24
+
ln3
34
+…+
lnn
n4
＜
1
2e
總成立．

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