Question

（1）求證：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立．
（2）求證：對(duì)任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

總成立．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)f(x)=

lnx

x2

，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可證得結(jié)論；
（2）由（1）知：對(duì)x∈（0，+∞）均有

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

，由此利用放縮法及裂項(xiàng)法，即可證得結(jié)論．

解答：（1）證明：設(shè)函數(shù)f(x)=

lnx

x2

，則f′(x)=

1-2lnx

x3

．令f'（x）=0，得x=

e

．
當(dāng)x∈(0，

e

)時(shí)，f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在(0，

e

]上遞增；
當(dāng)x∈(

e

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在[

e

，+∞)上遞減；
所以f(x)≤f(

e

)=

ln e

( e )2

=

1

2e

，對(duì)任意的x＞0，不等式

lnx

x2

≤

1

2e

總成立．
（2）證明：由（1）知：對(duì)x∈（0，+∞）均有

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

．
當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，有：

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

=0+

ln2

22

•

1

22

+

ln3

32

•

1

32

+…+

lnn

n2

•

1

n2

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

1

2e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)•n

)=

1

2e

(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

(n-1)

-

1

n

)=

1

2e

(

1

1

-

1

n

)＜

1

2e

．
綜上可知，對(duì)任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)、確定函數(shù)的單調(diào)性．