已知函數(shù)g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)
,
(I)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(II)當(dāng)a≥
1
2
時(shí),(1)求證:對(duì)任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要條件是c≤
3
4
;
(2)若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程g′(x)=0有兩個(gè)實(shí)根α,β,求證:|α|≤1,且|β|≤1的充要條件是-
1
4
≤c≤a2-a
分析:(I)要使g'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,只要它的最小值f(-1)≥0,即-1-1+c≥0,解得c≥2.
(II)設(shè)g'(x)=f(x),對(duì)任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要條件是它的最大值c+
1
4
≤1,求得c的范圍.
(2)g′(x)=0有兩個(gè)實(shí)根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要條件是 
f(
1
2a
)  ≥  0
f(1) ≤ 0
,等價(jià)于
 
c ≥  -
1
4
c  ≤ a2- a
,從而證得結(jié)論.
解答:解:(I)當(dāng)a=1時(shí),g(x)=-
1
3
x3+
1
2
x2+cx
,g'(x)=-x2+x+c,
∵g(x)在(-1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù),∴g'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,
∴-x2+x+c≥0在(-1,1)上恒成立,∴-1-1+c≥0,∴c≥2.
(II)設(shè)g'(x)=f(x),則f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-
1
2a
)2+c+
1
4
,此拋物線關(guān)于x=
1
2a
對(duì)稱,
 由a≥
1
2
可得,0<
1
2a
≤1.對(duì)任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要條件是它的最大值c+
1
4
≤1,
c≤
3
4

(2)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程g′(x)=0 即-a2x2+ax+c=0,即  -a2(x-
1
2a
)
2
+c+
1
4
=0,
∴g′(x)=0有兩個(gè)實(shí)根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要條件是 
f(
1
2a
)  ≥  0
f(1) ≤ 0
,即
c+
1
4
 ≥  0
-a2+ a + c ≤ 0
,等價(jià)于 
c ≥  -
1
4
c  ≤ a2- a
,等價(jià)于   -
1
4
≤ c ≤a2-a
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域,充要條件的定義,判斷g′(x)=0兩個(gè)
實(shí)根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要條件是 
f(
1
2a
)  ≥  0
f(1) ≤ 0
,是解題的難點(diǎn).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(coswx,sinwx),
n
=(coswx,
3
coswx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
+1
且f(x)的最小正周期為2π.
(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最值;
(II)已知函數(shù)g(x)=
tanx-tan3x
1+2tan2x+tan4x
,求證:f(x)>g(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x2-2
(x≥2)
的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=
x
x2-2
(x≥2)
,記函數(shù)f(x)=x-kg(x)(x≥2,k為常數(shù)).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上為減函數(shù),求k的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=1-2x , f[g(x)]=
1-x2
x2
 (x≠0)
,則f(0)等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x+2,x>-
1
2
-x-
1
2x
,-
2
2
<x≤-
1
2
2
,x≤-
2
2
,若g(a)≥g(
1
a
)
,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
[-
2
,0)∪[1,+∞)
[-
2
,0)∪[1,+∞)

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