Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，a∈R).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.

（1）若點(diǎn)A(0，4)在直線(xiàn)l上，求直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程；

（2）已知a>0，若點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)C上，若|PQ|最小值為，求a的值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）將直線(xiàn)l參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a值，進(jìn)而求出極坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)直線(xiàn)m平行于直線(xiàn)l，則直線(xiàn)m與曲線(xiàn)C的切點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離即為|PQ|最小值，計(jì)算求解即可.

（1）由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，a∈R)可得，

直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)A(0，4)在直線(xiàn)l上，代入方程，得

則直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為，

將代入，得

即直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為

（2）將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程

化為直角坐標(biāo)方程，得，

設(shè)直線(xiàn)，

則直線(xiàn)m與曲線(xiàn)C的切點(diǎn)（靠近直線(xiàn)l）到直線(xiàn)的距離即為|PQ|最小值，

將直線(xiàn)m代入曲線(xiàn)C中，得，

由相切，得，即（舍負(fù)），

由于直線(xiàn)m與直線(xiàn)l的距離為，

則，