若一個動點(diǎn)P(x,y)到兩個定點(diǎn)A(-1,0),A′(1,0)的距離和為定值m,試求P點(diǎn)的軌跡方程.

解:∵|PA|+|PA′|=m,|AA′|=2,|PA|+|PA′|≥|AA′|,

∴m≥2.

(1)當(dāng)m=2時(shí),P點(diǎn)的軌跡就是線段AA′.

∴其方程為y=0(-1≤x≤1).

(2)當(dāng)m＞2時(shí),由橢圓的定義知,點(diǎn)P的軌跡是以A、A′為焦點(diǎn)的橢圓.

∵2c=2,2a=m,

∴a=,c=1,b2=a2-c2=-1.

∴點(diǎn)P的軌跡方程為+=1.

點(diǎn)撥:平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)時(shí),動點(diǎn)的軌跡不一定是橢圓.當(dāng)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí),動點(diǎn)的軌跡是線段;當(dāng)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和(常數(shù))大于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí),動點(diǎn)的軌跡是橢圓.

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