【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l :y=x+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),以MN為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(3,-2),求m的值及△PMN的面積.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根據(jù)離心率和菱形面積,得到關(guān)于的方程,解出得到橢圓方程.
(2)直線與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到,得到中點(diǎn)坐標(biāo),然后利用等腰三角形三線合一,即底邊中線與底邊垂直,構(gòu)造方程,求出中點(diǎn)坐標(biāo),利用弦長公式求出的長,利用點(diǎn)到直線的距離,求出底邊上的高,從而得到的面積.
(1)橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形面積為
橢圓離心率為
又
解得,故所求橢圓C的方程為:
(2)設(shè),,的中點(diǎn)為
消去得:
由韋達(dá)定理得:
,
所以
由
, 解得 ,滿足
即
頂點(diǎn)到底邊的距離為:
所求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l方程為(m+2)x-(m+1)y-3m-7=0,m∈R.
(Ⅰ)求證:直線l恒過定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)若直線l在x軸,y軸上的截距相等,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解學(xué)生參加體育活動(dòng)的情況,學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,其中一個(gè)問題是“你平均每天參加體育活動(dòng)的時(shí)間是多少?”,共有4個(gè)選項(xiàng):A,1.5小時(shí)以上,B,1-1.5小時(shí),C,0.5-1小時(shí),D,0.5小時(shí)以下.圖(1),(2)是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答以下問題:
(1)本次一共調(diào)查了多少名學(xué)生.
(2)在圖(1)中將對應(yīng)的部分補(bǔ)充完整.
(3)若該校有3000名學(xué)生,你估計(jì)全校有多少名學(xué)生平均每天參加體育活動(dòng)的時(shí)間在0.5小時(shí)以下?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖(1)所示,橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在x軸上,A、B是橢圓的頂點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),且PF1⊥x軸,PF2∥AB,求此橢圓的離心率;
(2)如圖(2)所示,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,求此雙曲線的離心率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.
(1)證明:f(x)+f≥2;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一圓的圓心在直線上,且該圓經(jīng)過和兩點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線與圓相交于,兩點(diǎn),試求面積的最大值和此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】質(zhì)檢部門對某工廠甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)的個(gè)零件質(zhì)量進(jìn)行檢測.甲、乙兩個(gè)車間的零件質(zhì)量(單位:克)分布的莖葉圖如圖所示.零件質(zhì)量不超過克的為合格.
(1)質(zhì)檢部門從甲車間個(gè)零件中隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測,若至少件合格,檢測即可通過,若至少件合格,檢測即為良好,求甲車間在這次檢測通過的條件下,獲得檢測良好的概率;
(2)若從甲、乙兩車間個(gè)零件中隨機(jī)抽取個(gè)零件,用表示乙車間的零件個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),圓.
(1)若直線過點(diǎn)且到圓心的距離為,求直線的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)(的斜率為負(fù)),當(dāng)時(shí),求以線段為直徑的圓的方程.
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