【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，所以，又可得在處的切線方程（Ⅱ）令，解出，令，解出，可得的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ） ，

在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且極大值， 極小值可得在無零點(diǎn)，

在有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：

（Ⅰ）∵， ，

∴． ，

∴在處切線為，即為．

（Ⅱ）令，解出，

令，解出．

∴的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅲ）

，

．

令，解出或，

令，解出．

∴在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增．

極大值，

極小值，

∵在時(shí)， 極大值小于零，

在時(shí)， 極小值小于零．

在， 單調(diào)遞增，

說明在無零點(diǎn)，

在有一個(gè)零點(diǎn)，

∴有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱臺(tái)中， 側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若,且.

（Ⅰ）若， ，證明： ∥平面；

（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知為橢圓： 的右焦點(diǎn)， ， ， 為橢圓的下、上、右三個(gè)頂點(diǎn)， 與的面積之比為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試探究在橢圓上是否存在不同于點(diǎn)， 的一點(diǎn)滿足下列條件：點(diǎn)在軸上的投影為， 的中點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)， 的中點(diǎn)為，且的面積為.若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是等腰三角形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．

（I）若平面，求；

（II）平面將三棱柱分成兩個(gè)部分，求較小部分與較大部分的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后各項(xiàng)， ， 的最小值記為， ．

（I）若為， ， ， ， ， ， ， ， ，是一個(gè)周期為的數(shù)列（即對(duì)任意， ），寫出， ， ， 的值．

（II）設(shè)是正整數(shù)，證明： 的充分必要條件為是公比為的等比數(shù)列．

（III）證明：若， ，則的項(xiàng)只能是或者，且有無窮多項(xiàng)為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）在中，內(nèi)角， ， 的對(duì)邊分別是， ， ，若，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知95個(gè)數(shù)a1，a2，a3，…，a95， 則a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是______________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)）．

（Ⅰ）若，求函數(shù)在處的切線方程．

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)、是平面上左、右兩個(gè)不同的定點(diǎn)， ，動(dòng)點(diǎn)滿足：

．

（1）求證：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；

（2）拋物線滿足：①頂點(diǎn)在橢圓的中心；②焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．

設(shè)拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為．問：是否存在正實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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