Question

【題目】已知、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，和橢圓相交于、兩點(diǎn)，，.點(diǎn)坐標(biāo)是，設(shè)的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓的定義求出、，進(jìn)而求出，確定出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先聯(lián)立方程組得出根與系數(shù)關(guān)系，再結(jié)合，求出的取值范圍，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出到的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，借助面積公式求出的關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求出的范圍．

解：（1）由題意，是橢圓的右焦點(diǎn)，

∵、關(guān)于軸對(duì)稱，、關(guān)于軸對(duì)稱，∴.

∵，∴，∴，

又是的左焦點(diǎn)，∴.

∴的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）設(shè)、（），

由條件可得，直線的方程為，即.

又，，∵，∴.

由方程組得，.

∴，.

∴，解得，.

∴，解得.

∵，∴.

∵，∴點(diǎn)到直線的距離為.

又

∴面積.

∴，即面積的取值范圍是.