如圖，在三棱錐P—ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.

求證：（1）直線PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
(1)詳見解析; (2) 詳見解析.

試題分析：(1) 由線面平行的判定定理可知,只須證PA與平面DEF內(nèi)的某一條直線平行即可,由已知及圖形可知應(yīng)選擇DE,由三角形的中位線的性質(zhì)易知: DE∥PA ,從而問題得證；注意線PA在平面DEG外,而DE在平面DEF內(nèi)必須寫清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知,只須證兩平中的某一直線與另一個(gè)平面垂直即可，注意題中已知了線段的長度，那就要注意利用勾股定理的逆定理來證明直線與直線的垂直；通過觀察可知：應(yīng)選擇證DE垂直平面ABC較好,由(1)可知:DE⊥AC,再就只須證DE⊥EF即可；這樣就能得到DE⊥平面ABC，又DE平面BDE，從面而有平面BDE⊥平面ABC．
試題解析：(1)因?yàn)镈，E分別為PC,AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA.
又因?yàn)镻A平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.
(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別人棱PC,AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4．
又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2+EF2，所以∠DEF=90。，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因?yàn)锳C∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.

（1）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q（除去端點(diǎn)），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐中,⊥平面,∥，,分別為線段的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面;    
（2）求證：⊥平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，
OP⊥底面ABC.
（1）若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大小；
（2）當(dāng)k取何值時(shí)，二面角O—PC—B的大小為？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知空間三點(diǎn)A（1，3，2），B（1，2，1），C（-1，2，3），則下列向量中是平面ABC的法向量的為（　�。�
A．（-1，-2，5）B．（1，3，2）C．（1，1，1）D．（-1，1，-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知m，n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，，則下列命題中的假命題是（   ）
A．若m//n，則
B．若，則
C．若相交，則相交
D．若相交，則相交

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知是直線，是平面，下列命題中，正確的命題是      .（填序號(hào)）
①若垂直于內(nèi)兩條直線，則；  
②若平行于，則內(nèi)可有無數(shù)條直線與平行；
③若m⊥n，n⊥l則m∥l； ④若，則；  

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中,為上一點(diǎn)，面面，四邊形為矩形 ，,．
（1）已知,且∥面，求的值;
（2）求證：面,并求點(diǎn)到面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知l∥，且l的方向向量為(2, m, 1), 平面的法向量為(1,, 2), 則m=       .

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