【題目】如圖,已知直線l:x+ y﹣c=0(c>0)為公海與領(lǐng)海的分界線,一艘巡邏艇在O處發(fā)現(xiàn)了北偏東60°海面上A處有一艘走私船,走私船正向停泊在公海上接應(yīng)的走私海輪B航行,以使上海輪后逃竄.已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍,且兩者都是沿直線航行,但走私船可能向任一方向逃竄.
(1)如果走私船和巡邏船相距6海里,求走私船能被截獲的點(diǎn)的軌跡;
(2)若O與公海的最近距離20海里,要保證在領(lǐng)海內(nèi)捕獲走私船(即不能截獲走私船的區(qū)域與公海不想交).則O,A之間的最遠(yuǎn)距離是多少海里?
【答案】
(1)解:由題意知點(diǎn)A(3 ,3),設(shè)走私船能被截獲的點(diǎn)為P(x,y),
則|OP|=2|AP|,
即 =2 ,整理得:(x﹣4 )2+(y﹣4)2=16.
∴走私船能被截獲的點(diǎn)的軌跡是以(4 ,4)為圓心,以4為半徑的圓
(2)解:由題意得 =20,即c=40.∴直線l的方程為x+ y﹣40=0.
設(shè)|OA|=t,則A( t, t)(t>0),
設(shè)走私船能被截獲的點(diǎn)為P(x,y),則|OP|=2|AP|,
∴ =2 ,
整理得:(x﹣ t)2+(y﹣ t)2= ,
∴走私船能被截獲的點(diǎn)的軌跡是以C( t, )為圓心,以 為半徑的圓.
若保證在領(lǐng)海內(nèi)捕獲走私船,則圓心C到直線l的距離d≥ .
∴ ≥ t,
解得:t≤ =15( ﹣1),
∴O,A之間的最遠(yuǎn)距離是15( ﹣1)海里
【解析】(1)設(shè)截獲點(diǎn)為P(x,y),根據(jù)|OP|=2|AP|列方程化簡(jiǎn)即可;(2)設(shè)|OA|=t,求出截獲點(diǎn)軌跡方程,根據(jù)直線與圓不相交列不等式得出t的范圍即可得出|OA|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題的敘述:
①若p:x>0,x2﹣x+1>0,則¬p:x0≤0,x02﹣x0+1≤0;
②三角形三邊的比是3:5:7,則最大內(nèi)角為 π;
③若 = ,則 = ;
④ac2<bc2是a<b的充分不必要條件,
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系下,已知圓O:ρ=cosθ+sinθ和直線l:ρsin(θ﹣ )= .
(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)θ∈(0,π)時(shí),求直線l與圓O公共點(diǎn)的極坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0, ),其部分圖象如圖所示. (I)求f(x)的解析式;
(II)求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值及相應(yīng)的x值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線 ,θ∈[0,2π)上一點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)M(a,0),(a>0)的最小距離為 ,則a= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex(3x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若有且只有一個(gè)整數(shù)x0使得f(x0)≤0,則a的取值范
圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為 (其中t為參數(shù)),現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.
(Ⅰ)寫(xiě)出直線l和曲線C的普通方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求P到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0,+∞).
(1)判斷此函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)判斷此函數(shù)在[ ,+∞)的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論;
(3)求出f(x)在[1,+∞)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.
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