【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的最小值;
(2)若存在x∈[1,3],使 +lnx=2成立,求a的取值范圍;
(3)若對任意的x∈[1,+∞),有f(x)≥f( )成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)=x﹣lnx(x>0)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1﹣ = ,
當(dāng)x>1時,f′(x)>0,f(x)遞增;當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0,f(x)遞減.
即有f(x)在x=1處取得極小值,也為最小值,且為1
(2)解:存在x∈[1,3],使 +lnx=2成立,
即為 =2﹣lnx,
即有a= ,
設(shè)g(x)= ,x∈[1,3],
則g′(x)=(1﹣lnx)(1+ ),
當(dāng)1<x<e時,g′(x)>0,g(x)遞增;當(dāng)e<x<3時,g′(x)<0,g(x)遞減.
則g(x)在x=e處取得極大值,且為最大值e+ ;
g(1)=2,g(3)=3(2﹣ln3)+ >2,
則a的取值范圍是[2,e+ ]
(3)解:若對任意的x∈[1,+∞),有f(x)≥f( )成立,
即為ax﹣lnx≥ ﹣ln ,
即有a(x﹣ )≥2lnx,x≥1,
令F(x)=a(x﹣ )﹣2lnx,x≥1,
F′(x)=a(1+ )﹣ ,
當(dāng)x=1時,原不等式顯然成立;
當(dāng)x>1時,由題意可得F′(x)≥0在(1,+∞)恒成立,
即有a(1+ )﹣ ≥0,
即a≥ ,由 = < =1,
則a≥1.
綜上可得a的取值范圍是[1,+∞)
【解析】(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,可得f(x)的極小值,也為最小值;(2)由題意可得a= ,設(shè)g(x)= ,x∈[1,3],求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,極值和最值,即可得到所求a的范圍;(3)由題意可得ax﹣lnx≥ ﹣ln ,即有a(x﹣ )≥2lnx,x≥1,令F(x)=a(x﹣ )﹣2lnx,x≥1,求出導(dǎo)數(shù),討論x=1,x>1時,F(xiàn)(x)遞增,運(yùn)用分離參數(shù)和基本不等式,即可得到a的范圍.
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(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中你的猜測.
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(1)當(dāng)時,求函數(shù)的最值;
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(3)設(shè),試證明:對于,若,則.
(參考公式: ,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)
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A.( , )
B.[ , ]
C.( , )
D.[ , ]
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時間 | 第4天 | 第32天 | 第60天 | 第90天 |
價格(千元) | 23 | 30 | 22 | 7 |
(Ⅰ)寫出價格f(x)關(guān)于時間x的函數(shù)關(guān)系式(x表示投放市場的第x天,x∈N*);
(Ⅱ)銷售量g(x)與時間x的函數(shù)關(guān)系式為 ,則該產(chǎn)品投放市場第幾天的銷售額最高?最高為多少千元?
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