【題目】如圖,已知平面ADC∥平面A1B1C1 , B為線段AD的中點(diǎn),△ABC≈△A1B1C1 , 四邊形ABB1A1為正方形,平面AA1C1C丄平面ADB1A1 , A1C1=A1A,∠C1A1A= ,M為棱A1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)若N為線段DC1上的點(diǎn),且直線MN∥平面ADB1A1 , 試確定點(diǎn)N的位置;
(Ⅱ)求平面MAD與平面CC1D所成的銳二面角的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)連結(jié)A1D,直線MN∥平面ADB1A1 , MN平面A1C′1D, 平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1 , ∴MN∥A1D,
又M為棱A1C1的中點(diǎn),∴MN為△A1C1D的中位線,
∴N為DC1的中點(diǎn).
(Ⅱ)設(shè)A1B1=1,則A1A=1,A1C1=1,因?yàn)锽為AD的中點(diǎn),所以AD=2,因?yàn)椤鰽BC≌△A1B1C1 ,
所以A1C1=AC,又平面ABC∥平面A1B1C1 , 平面A1B1C1∩平面A1AOC1=A1C1 , 平面ABC∩平面A1AOC1=AO,
∴A1C1∥AC,所以四邊形A1ACC1是平行四邊形,又A1C1=A1A,所以A1ACC1是菱形,又∠C1A1A= ,
A1M= ,∴ ,∴AM⊥A1C1 , ∴AM⊥AC,∵AD⊥AA1 , 平面AA1C1C⊥平面ADB1A1 ,
∴AD⊥平面AA1C1C,∴AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC兩兩垂直,
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AC,AM分別為x,y,z軸,
由題意可得:A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),C1( ),∴ =(﹣2,1,0), ,
設(shè)平面CC1D的法向量為: =(x,y,z),則 ,
令z=2 ,可得y=6,x=3,可得 =(3,6,2 ),平面MAD的一個(gè)法向量為: =(0,1,0),
平面MAD與平面CC1D所成的銳二面角的余弦值為:cosθ=|cos |
= = =
【解析】(Ⅰ)連結(jié)A1D,直線MN∥平面ADB1A1 , 推出MN∥A1D,說(shuō)明MN為△A1C1D的中位線,得到N為DC1的中點(diǎn).(Ⅱ)設(shè)A1B1=1,證明AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AC,AM分別為x,y,z軸,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面CC1D的法向量,平面MAD的一個(gè)法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A.B.C.或D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足,且的最小值是.
(1)求的解析式;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)函數(shù),對(duì)任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知t為實(shí)數(shù),函數(shù),其中
(1)若,求的取值范圍。
(2)當(dāng)時(shí),的圖象始終在的圖象的下方,求t的取值范圍;
(3)設(shè),當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?/span>,若的最小值為,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù),且對(duì)x∈(0,∞),都有f[f(x)﹣lnx]=e+1,設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)g(x)=f(x)﹣f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖甲所示,放在水平地面上的物體,受到方向不變的水平推力F的作用,F的大小與時(shí)間t的關(guān)系和物體運(yùn)動(dòng)速度v與時(shí)間t的關(guān)系如圖乙所示.下列判斷正確的是:
A.t=3s時(shí),物體受到力的合力為零
B.t=6s時(shí),將F撤掉,物體立刻靜止
C.2s~4s內(nèi)物體所受摩擦力逐漸增大
D.t=1s時(shí),物體所受摩擦力是1N
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”,為了保護(hù)環(huán)境,減少空氣污染,某空氣凈化器制造廠,決定投入生產(chǎn)某種惠民型的空氣凈化器.根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到年生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律如下:①年固定生產(chǎn)成本為2萬(wàn)元;②每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器1百臺(tái),成本增加1萬(wàn)元;③年生產(chǎn)x百臺(tái)的銷售收入(萬(wàn)元).假定生產(chǎn)的該型號(hào)空氣凈化器都能賣出(利潤(rùn)=銷售收入﹣生產(chǎn)成本).
(1)為使該產(chǎn)品的生產(chǎn)不虧本,年產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
(2)該產(chǎn)品生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí),可使年利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,,,、分為、的中點(diǎn),.
()求證:平面平面.
()若,求四面體的體積.
()設(shè),若平面與平面所成銳二面角,求的取值范圍.
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