【題目】已知橢圓C; =1(a>b>c)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(﹣c,0)、F2(c,0),過原點(diǎn)O的直線(與x軸不重合)與橢圓C相交于D、Q兩點(diǎn),且|DF1|+|QF1|=4,P為橢圓C上的動點(diǎn),△PF1F2的面積的最大值為 .
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若A、B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N(﹣4,0),連接NA與橢圓C相交于點(diǎn)E,直線BE與x軸相交于點(diǎn)M,試求 的值.
【答案】
(1)解:由題意知,2a=4,得a=2.
又bc= ,且b2+c2=4,可得 ,c=1.
∴橢圓的離心率e=
(2)解:由(1)知,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
由題意可知直線NA存在斜率,
設(shè)直線NA的方程為y=k(x+4),代入橢圓方程消去y并整理得:
(4k2+3)x2+32k2x+64k2﹣12=0.
由△=(32k2)2﹣4(4k2+3)(64k2﹣12)>0,解得﹣ <k< .
設(shè)A(x1,y1),E(x2,y2),則B(x1,﹣y1),
得 ,①
直線BE的方程為y+y1= ,令y=0,
得 = ,②
由①②得 .
即點(diǎn)M為左焦點(diǎn)F1(﹣1,0),
因此NF2=5,MF2=2.
∴ =
【解析】(1)由題意求得a,結(jié)合△PF1F2的面積的最大值為 可得bc= ,再由隱含條件求得b,c的值,則橢圓離心率可求;(2)由(1)求出橢圓方程,設(shè)出直線NA方程,與橢圓方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程,由判別式大于0求得k的范圍,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A與E的橫坐標(biāo)的和與積,進(jìn)一步寫出BE所在直線方程,取y=0求得M坐標(biāo),可知M與橢圓左焦點(diǎn)重合,求出NF2及MF2的值,則 的值可求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(kR),且滿足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線沒有交點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)若函數(shù),x[0,log23],是否存在實(shí)數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=e2x﹣ax2+bx﹣1,其中a,b∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù),若f(1)=0,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.(e2﹣3,e2+1)
B.(e2﹣3,+∞)
C.(﹣∞,2e2+2)
D.(2e2﹣6,2e2+2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=mln(x+1),g(x)= (x>﹣1).
(Ⅰ)討論函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)在(﹣1,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線,試求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知a≠b,c= ,且bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若△ABC的面積為 ,求a與b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|a﹣x|(a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a= 時(shí),求使不等式f(2x﹣ )>2f(x+2)+2成立的x的集合A;
(Ⅱ)設(shè)x0∈A,證明f(x0x)≥x0f(x)+f(ax0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把函數(shù) 的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍,再向左平移 ,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.
B. ??
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,對每個(gè)正整數(shù),有或.如這個(gè)數(shù)列可以為1,2,4,6,10….
(1)若某一項(xiàng)為奇數(shù),且不為3的倍數(shù),證明:;
(2)證明:;
(3)若在的前2015項(xiàng)中,恰有t個(gè)項(xiàng)為奇數(shù),求t的最大值.
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