【題目】已知數(shù)列滿足,對每個正整數(shù),有.如這個數(shù)列可以為1,2,4,6,10….

(1)若某一項為奇數(shù),且不為3的倍數(shù),證明:;

(2)證明:;

(3)若在的前2015項中,恰有t個項為奇數(shù),求t的最大值.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)1343

【解析】

(1)由am不為偶數(shù),知.

于是,.

假如,則為3的倍數(shù),與已知條件矛盾.

從而,只能是.

.

(2)由遞推關(guān)系,易知數(shù)列是單調(diào)遞增的.

因此,當(dāng)時,.

從而,,即.

由此,.

(3)一方面,數(shù)列的任意相鄰三項至多有兩個奇數(shù).

事實上,假如均為奇數(shù),由均為偶數(shù),故根據(jù)遞推關(guān)系知為偶數(shù),矛盾.

因此,在這671組數(shù)中,每組至多含兩個奇數(shù).

再考慮到為奇數(shù),為偶數(shù),故至多有個奇數(shù),即.

另一方面 ,當(dāng)數(shù)列總滿足時,注意到,為奇數(shù),為偶數(shù),故對每個正整數(shù)k,由遞推關(guān)系得為奇數(shù),為奇數(shù),為偶數(shù),此時,數(shù)列的前2015項含有1343個奇數(shù).

綜上,t的最大值1343.

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