Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，且f（

π

6

）=1，將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）在[0，

π

2

]中，使f（x）=

2

2

成立的x的值；
（3）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=-2g²（x）+ag（x）+1在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：綜合題,壓軸題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，可求得ω=2，φ=

π

6

，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；
（2）由已知可得sin（2x+

π

6

）=

2

2

，又x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，即可解得x的值．
（3）依題意，F(xiàn)（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等價(jià)于關(guān)于x的方程a=-

cos2x

sinx

，x≠kπ（k∈Z）．問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點(diǎn)情況．通過其導(dǎo)數(shù)，列表分析即可求得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴T=

2π

ω

=π，可解得：ω=2．
∵f（

π

6

）=1，∴sin（2×

π

6

+φ）=1，即有

π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：φ=2kπ+

π

6

，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）．
∵將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)解析式為：y=sin（x+

π

6

）；
再將所得圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的解析式為：g（x）=sinx．
（2）∵f（x）=

2

2

，
∴可得：sin（2x+

π

6

）=

2

2

．
∵x∈[0，

π

2

]，可得：2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴可解得：2x+

π

6

=

π

4

或

3π

4

，
∴從而解得：x=

π

24

或

7π

24

．
（3）依題意F（x）=-2g²（x）+ag（x）+1=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
當(dāng)sinx=0，即x=kπ（k∈Z）時(shí)，cos2x=1，從而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等價(jià)于關(guān)于x的方程a=-

cos2x

sinx

，x≠kπ（k∈Z）．
現(xiàn)研究x∈（0，π）∪（π，2π）時(shí)方程a=-

cos2x

sinx

的解的情況．
令h（x）=-

cos2x

sinx

，x∈（0，π）∪（π，2π），
則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點(diǎn)情況．
h′（x）=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，令h′（x）=0，得x=

π

2

或x=

3π

2

，
當(dāng)x變換時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，2π）
h′（x）	+	0	-	-	0	+
h（x）	↗	1	↘	↘	-1	↗

當(dāng)x＞0且x趨近于0時(shí)，h（x）趨向于-∞，
當(dāng)x＜π且x趨近于π時(shí)，h（x）趨向于-∞，
當(dāng)x＞π且x趨近于π時(shí)，h（x）趨向于+∞，
當(dāng)x＜2π且x趨近于2π時(shí)，h（x）趨向于+∞，
故當(dāng)a＞1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)無交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a＜-1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)無交點(diǎn)；
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在（π，2π）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；
由函數(shù)h（x）的周期性，可知當(dāng)a≠±1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)；
又當(dāng)a=1或a=-1時(shí)，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，由周期性，2013=3×671，
∴依題意得n=671×2=1342．
綜上，當(dāng)a=1，n=1342，或a=-1，n=1342時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．