Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且與拋物線有共同的焦點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段的長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）在線段的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得的面積為，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）8（3）或

（I）由已知得，拋物線的焦點(diǎn)為，則，又．
由，可得．
故橢圓的方程為．…………………………………………4分
（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而．
由得．………………………………6分
設(shè)，則 ．所以，從而．
即又，
則直線的斜率為．
由    得
所以．
故．
又，．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值．…………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，．
則直線的方程為，此時(shí)，．
若橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，則點(diǎn)到直線的距離等于，
所以在平行于且與距離等于的直線上．
設(shè)直線．
則由 得．………………………………………10分
．即．
由平行線間的距離公式，得，
解得或（舍去）．
可求得或．…………………………………………13分