Question

已知圓：，直線與圓相交于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；

（Ⅱ）若直線的斜率為，且以弦為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）或（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問(wèn)題時(shí)，要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，不要單純地依靠代數(shù)運(yùn)算，這樣簡(jiǎn)單又不易出錯(cuò)．由題意知的斜率必然存在，可設(shè)出直線的方程，.其中r為圓的半徑，d為弦心距，l為弦長(zhǎng)即可解決；（Ⅱ）采用設(shè)而不求，利用直線與圓的方程聯(lián)立的關(guān)于x的二次方程，由得，即，再利用韋達(dá)定理即可.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即．

圓：，即，

圓心，半徑為．

由，知圓心到直線的距離為，

于是，即，

整理得，解得，或．

所以直線的方程為或． 5分

（Ⅱ）由直線的斜率為，設(shè)直線的方程為．

由 ，

得．

令，解得．（1）

設(shè)，則，．

因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031306072098358345/SYS201503130607407499167532_DA/SYS201503130607407499167532_DA.033.png">為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以．

所以，即．

代入得，解得或，滿足（1）．

故直線的方程為或． 10分

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的綜合