Question

在數(shù)列中，若（，，為常數(shù)），則稱(chēng)為數(shù)列．
（1）若數(shù)列是數(shù)列，，，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列的前項(xiàng)；
（2）證明：一個(gè)等比數(shù)列為數(shù)列的充要條件是公比為或；
（3）若數(shù)列滿(mǎn)足，，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在
正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；
若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；；；．（2）證明：一個(gè)等比數(shù)列為數(shù)列的充要條件是公比為或；（3）.

試題分析：（1）由是數(shù)列，，，有，根據(jù)定義可知,，從而寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的數(shù)列的前項(xiàng)；（2）先證必要性，設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，（為公比且），由定義（為與無(wú)關(guān)的常數(shù)），則；再證充分性，若一個(gè)等比數(shù)列的公比，則， ，所以 為數(shù)列；若一個(gè)等比數(shù)列的公比，則，，所以得證.（3）先利用題中所給條件表示出 ，假設(shè)存在正整數(shù)使不等式對(duì)一切都成立．即，當(dāng)時(shí)，，又為正整數(shù)，．接著證明對(duì)一切都成立．利用進(jìn)行裂項(xiàng)相消.
試題解析：（1）由是數(shù)列，，，有，  
于是,
所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列的前項(xiàng)為：
；；；．    4分
（2）（必要性）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，（為公比且），則
，若為數(shù)列，則有
（為與無(wú)關(guān)的常數(shù)）
所以，或．                           2分
（充分性）若一個(gè)等比數(shù)列的公比，則， ，所
以 為數(shù)列；
若一個(gè)等比數(shù)列的公比，則，
，
所以為數(shù)列．                                     4分
（3）因數(shù)列中，則
，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和 1分
假設(shè)存在正整數(shù)使不等式對(duì)一
切都成立．即
當(dāng)時(shí)，，又為正整數(shù)，
．                                           3分
下面證明：對(duì)一切都成立．
由于
所以
5分