Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＞0，a_n+1=2－，。
（1）若a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，求a₁的值；
（2）是否存在a₁，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a₁，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

(1) 或 ;(2) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列．

試題分析：(1)把表示為的式子，通過(guò)對(duì)的范圍進(jìn)行討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)成等比數(shù)列可得關(guān)于的方程，解出即可；
（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則成等差數(shù)列，即，將（1）的過(guò)程代入，得到關(guān)于的方程，分情況①當(dāng)時(shí)②當(dāng)時(shí),求得進(jìn)行判斷；看是否與矛盾.此題的難點(diǎn)在與討論絕對(duì)值的幾何意義，去絕對(duì)值.
試題解析：（1）∵，∴，．
（�。┊�(dāng)時(shí)，，
由，，成等比數(shù)列得：
∴，解得．        3分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，
∴，解得（舍去）或．
綜上可得或．              6分
（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則
由，得，即．
（�。┊�(dāng)時(shí)，，解得，從而（），此時(shí)是一個(gè)等差數(shù)列；                        9分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾；
綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列．      12分