Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝aex﹣2x+1．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；

（2）若f（x）＞0對x∈R成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）極小值為3﹣2ln2，無極大值；（2）．

【解析】

（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得極值；

（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，即可求得參數(shù)的范圍.

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝ex﹣2x+1，則f′（x）＝ex﹣2，

令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；

故函數(shù)f（x）在（﹣∞,ln2）上遞減，在（ln2,+∞）上遞增，

故函數(shù)f（x）的極小值為f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，無極大值；

（2）f（x）＞0對x∈R成立，即為對任意x∈R都成立，

設(shè)，則a＞g（x）max

，

令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得；

故函數(shù)g（x）在遞增，在遞減，

∴，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．