【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax+ln(x+1)(a∈R).

(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒有f′(x)>x,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)已知a<1,c1>0,且cn+1=f′(cn)(n=1,2,…),證明數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

【答案】解析

【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2-2x+ln(x+1),

f′(x)=2x-2+.

令f′(x)=0,得x=±.

當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x=-,極小值點(diǎn)為x=.

(2)因?yàn)閒′(x)=2x-a+

由f′(x)>x,得2x-a+>x,

所以由題意知,a<x+ (0<x<1)恒成立.

又x+=x+1+-1≥1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=0時(shí)等號(hào)成立.

所以a≤1.

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

(3)證明:①當(dāng)n=1時(shí),c2=f′(c1)=2c1-a+.

因?yàn)閏1>0,所以c1+1>1,又a<1,

所以c2-c1=c1-a+=c1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a>0,

所以c2>c1,即當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí)結(jié)論成立,即ck+1>ck>0,

當(dāng)n=k+1時(shí),

ck+2-ck+1=ck+1-a+=ck+1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a>0.

所以ck+2>ck+1,即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

由①②知數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某市統(tǒng)計(jì)局就2015年畢業(yè)大學(xué)生的月收入情況調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖所示,每個(gè)分組包括左端點(diǎn),不包括右端點(diǎn),如第一組表示.

(1)求畢業(yè)大學(xué)生月收入在的頻率;

(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);

(3)為了分析大學(xué)生的收入與所學(xué)專業(yè)、性別等方面的關(guān)系,必須按月收入再從這10000人中按分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析,則月收入在的這段應(yīng)抽取多少人?

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【題目】如圖,四邊形的兩條對(duì)角線相交于,現(xiàn)用五種顏色(其中一種為紅色)對(duì)圖中四個(gè)三角形進(jìn)行染色,且每個(gè)三角形用一種顏色圖染.

(1)若必須使用紅色,求四個(gè)三角形中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù);

(2)若不使用紅色,求四個(gè)三角形中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù).

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【題目】某數(shù)學(xué)教師對(duì)所任教的兩個(gè)班級(jí)各抽取20名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,分?jǐn)?shù)分布如表:

(1)若成績120分以上(含120分)為優(yōu)秀,求從乙班參加測(cè)試的90分以上(含90分)的同學(xué)中,隨機(jī)任取2名同學(xué),恰有1人為優(yōu)秀的概率;

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表:在犯錯(cuò)概率小于的前提下,你是否有足夠的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系?

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

,其中.

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(1)求橢圓C的離心率;

(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),且,求點(diǎn)Q的軌跡方程.

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A. B. C. D.

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(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求a,b的值;

(2)該電子商務(wù)平臺(tái)將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高消費(fèi)人群,其他年齡段的人群定義為潛在消費(fèi)人群,為了鼓勵(lì)潛在消費(fèi)人群的消費(fèi),該平臺(tái)決定發(fā)放代金券,高消費(fèi)人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費(fèi)人群每人發(fā)放100元的代金券,現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者中抽取10人,并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪,求此3人獲得代金券總和X(單位:元)的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)≤3的解集;

(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)≤3恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(1)開講多少分鐘后,學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?能維持多少分鐘?

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