Question

在1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)作為坐標構(gòu)成的平面向量的集合為M．對M中的每一個向量，作與其大小相等且數(shù)量積為零的向量，構(gòu)成向量集合V．分別在向量集合M、V中各任取一個向量

a

與向量

β

，其滿足

α

•

β

＜0的概率是（　�。�

• A．

  47

  100

• B．

  43

  80

• C．

  23

  50

• D．

  19

  40

Answer 1

分析：先計算出M中的元素個數(shù)，以及V中的元素個數(shù)，分別從兩個集合中各取一個向量的取法是兩個集合的元素個數(shù)的乘積，再研究

α

•

β

＜0得出使得其內(nèi)積小0的取法種數(shù)，由公式計算出概率即可

解答：解：在1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)作為坐標構(gòu)成的平面向量的集合為M．故M中元素的個數(shù)是A₅²=20
對M中的每一個向量，作與其大小相等且數(shù)量積為零的向量，構(gòu)成向量集合V．故V中也有40個元素，
分別在向量集合M、V中各任取一個向量

a

與向量

β

，所有的取法為20×40=800個
由于V中向量都是成對的相反向量，故所取的兩個向量內(nèi)積為正與內(nèi)積為負的數(shù)目是相等的，由此只需要求出內(nèi)積為0的數(shù)目，從總數(shù)中減去內(nèi)積為0的數(shù)目后再除以2，即可得到內(nèi)積小于0的種數(shù)下研究內(nèi)積為0的數(shù)目
由集合V中元素的屬性知，M中的每個元素在V中都對應(yīng)著兩個元素與它垂直，故有20×2=40個內(nèi)積為0
觀察M集合，其中向量坐標為（1，2）的向量還與（4，-2）（-4，2）垂直，同理（2，1），（2，4）（4，2）都還分別與V中兩向量垂直，由此知，內(nèi)積為0的向量被少計了8組，故分別在向量集合M、V中各任取一個向量

a

與向量

β

，其滿中內(nèi)積為0的數(shù)目是48個
由此，內(nèi)積不為0的數(shù)目共有752組
所以分別在向量集合M、V中各任取一個向量

a

與向量

β

，其滿足

α

•

β

＜0的數(shù)目有382個，其概率為

376

800

=

47

100

故選A

點評：本題考查等可能事件的概率，解答本題關(guān)鍵是正確求出總的基本事件數(shù)與滿足內(nèi)積為負的事件所包含的基本事件數(shù)，尤其是在求內(nèi)積為負的事件所包含的基本事件數(shù)時，考查所有事件的類型是正確求出數(shù)目的關(guān)鍵，其中注意到M中元素有互相垂直的情況，對正確做題非常關(guān)鍵．分析問題時一定要把問題的類型分析清楚．本題考查分析轉(zhuǎn)化的能力，易因為分析不清事件的類型而導(dǎo)致錯誤，本題比較抽象，題后應(yīng)好好總結(jié)其中的關(guān)系．