【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,且橢圓的短軸的兩個端點(diǎn)與其一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓的方程;

(2)過雙曲線的右頂點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).

①設(shè),當(dāng)為定值時,求的值;

②設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),滿足,記的面積為的面積為,求的取值范圍.

【答案】(1) ;(2) ①.;②. .

【解析】

試題分析:

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得.則橢圓的方程為.

(2).由題意可得雙曲線右頂點(diǎn)為.分類討論:

當(dāng)直線的斜率存在時,聯(lián)立直線方程與橢圓方程有,則為定值.當(dāng)直線的斜率不存在時,也滿足,則當(dāng)為定值.

.當(dāng)直線斜率存在時,由題意結(jié)合平行關(guān)系可得.換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)直線的斜率不存在時,,則的取值范圍是.

試題解析:

(1)由題意得橢圓的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)方程為

其左右焦點(diǎn)為,所以,

又因?yàn)闄E圓的短軸的兩個端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形,所以

又因?yàn)?/span>,所以.

所以橢圓的方程為.

(2)①雙曲線右頂點(diǎn)為.

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)的方程為

設(shè)直線與橢圓交點(diǎn),

,

所以

當(dāng),即為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為

,不妨設(shè),由可得.

,所以.

綜上所述當(dāng)為定值.

②因?yàn)?/span>,所以,所以,

因?yàn)?/span>

原點(diǎn)到直線的距離為

所以.

,則,所以

因?yàn)?/span>,所以,所以,所以

當(dāng)直線的斜率不存在時,

綜上所述的取值范圍是.

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