Question

函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2，當x∈（-2.5，3]時．
①寫出函數(shù)f（x）的解析式；②作出函數(shù)f（x）的圖象；
③若直線y=mx與函數(shù)f（x）=[x]，x∈（-2.5，3]的圖象有且僅有2個公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：①根據(jù)f（x）=[x]的定義，利用分段函數(shù)求出函數(shù)的解析式，
②作出對應的圖象即可．
③根據(jù)圖象，求出直線y=mx過特殊點的斜率，繼而求出m的范圍

解答： 解：①根據(jù)函數(shù)f（x）=[x]的定義可知：
當-2.5＜x＜-2時，f（x）=-3，
當-2≤x＜-1時，f（x）=-2，
當-1≤x＜0時，f（x）=-1，
當0≤x＜1時，f（x）=0，
當1≤x＜2時，f（x）=1，
當2≤x＜3時，f（x）=2，
當x=3時，f（x）=3，
即
f(x)=

-3，-2.5＜x＜-2 -2，-2≤x＜-1 -1，-1≤x＜0 0，0≤x＜1 1，1≤x＜2 2，2≤x＜3 3，x=3

，
②對應的圖象如右圖所示：
③直線y=mx是過原點的一條直線，如圖所示
當直線過點A時，m=

1

2

，此時一個交點，
當直線過點B時，m=

2

3

，此時一個交點，
由圖可以看出當

1

2

＜m＜

2

3

時，有兩個交點，
當直線過點D時，m=2，此時兩個交點，
由圖可以看出當m＞2時，有兩個交點，
綜上所述：m的取值范圍為（

1

2

，

2

3

）∪[2，+∞）

點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，利用函數(shù)的定義建立函數(shù)關系是解決本題的關鍵，以及分段函數(shù)的畫法與交點的個數(shù)問題，屬于中檔題