Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log

2

x，若數(shù)列：2，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），2m+4為等差數(shù)列，m∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{f（x_n）}（1≤n≤m，m、n∈N^*）的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ求數(shù)列{x_n}（1≤n≤m，m、n∈N^*）的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得x_n=2¹⁺ⁿ．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵數(shù)列：2，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），2m+4為等差數(shù)列，m∈N^*．
∴2m+4=2+（m+1）d，解得d=2．
∴f（x_n）=2+nd=2+2n．（1≤n≤m，m、n∈N^*）．
（II）∵函數(shù)f（x）=log

2

x，
∴log

2

xn=2+2n，∴x_n=2¹⁺ⁿ．
∴S_n=

4(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺²-4，（1≤n≤m，m、n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．