Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+x+1，若對任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，則實數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】0＜a＜4
【解析】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣1=x3+x，則函數(shù)是奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，

f（x2+a）+f（ax）＞2，等價于g（x2+a）+g（ax）＞0，

∴x2+a＞﹣ax，

∴x2+ax+a＞0，

∴△=a2﹣4a＜0

∴0＜a＜4，

所以答案是0＜a＜4．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．