Question

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓中心O，如圖，且，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實(shí)數(shù)λ，使，請給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓的方程為：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入求出b²的值后，可得橢圓的方程．
（2）設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，聯(lián)立PC與橢圓方程，結(jié)合C在橢圓上，求出求x_P=，同理x_Q=，代入斜率公式可得k_PQ=，由對稱性求出B點(diǎn)坐標(biāo)，可得k_AB=，即k_PQ=k_AB，即與共線，再由向量共線的充要條件得到答案．
解答：解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（2，0），設(shè)所求橢圓的方程為：=4（0＜b＜1），由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|，
由•=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐標(biāo)為（1，1），
∵C點(diǎn)在橢圓上
∴=4，
∴b²=，所求的橢圓方程為x²+3y²=4．
（Ⅱ）由于∠PCQ的平分線垂直O(jiān)A（即垂直于x軸），
不妨設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，
直線PC的方程為：y=k（x-1）+1，直線QC的方程為y=-k（x-1）+1，
由得：（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）
∵點(diǎn)C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個(gè)根，則其另一根為，設(shè)P（x_P，y_P），?Q（x_Q，y_Q），x_P=，同理x_Q=，
k_PQ=
而由對稱性知B（-1，-1），又A（2，0），
∴k_AB=，
∴k_PQ=k_AB，
∴與共線，且≠0，即存在實(shí)數(shù)λ，使=λ．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，向量共線的充要條件，其中（2）綜合了聯(lián)立方程，設(shè)而不求，韋達(dá)定理，向量共線，斜率公式等諸多知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算強(qiáng)度大，屬于難題．