(2010•上虞市二模)已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點,點A是長軸的一個頂點,BC過橢圓中心O,如圖,且
AC
BC
=0
,|BC|=2|AC|.
(1)求橢圓的方程;
(2)如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO,則總存在實數(shù)λ,使
PQ
AB
,請給出證明.
分析:(1)以O為原點,OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系,設所求橢圓的方程為:x2+
y2
b2
=4,由已知易得△AOC是等腰直角三角形,進而求出C點坐標,代入求出b2的值后,可得橢圓的方程.
(2)設直線PC的斜率為k,則直線QC的斜率為-k,聯(lián)立PC與橢圓方程,結(jié)合C在橢圓上,求出求xP=
3k2-6k-1
1+3k2
,同理xQ=
3k2+6k-1
1+3k2
,代入斜率公式可得kPQ=
1
3
,由對稱性求出B點坐標,可得kAB=
1
3
,即kPQ=kAB,即
AB
PQ
共線,再由向量共線的充要條件得到答案.
解答:解:(1)以O為原點,OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系,
則A(2,0),設所求橢圓的方程為:x2+
y2
b2
=4(0<b<1),由橢圓的對稱性知|OC|=|OB|,
AC
BC
=0得AC⊥BC,
∵|BC|=2|AC|,
∴|OC|=|AC|,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴C的坐標為(1,1),
∵C點在橢圓上
1+
1
b2
=4,
∴b2=
1
3
,所求的橢圓方程為x2+3y2=4.
(Ⅱ)由于∠PCQ的平分線垂直O(jiān)A(即垂直于x軸),
不妨設直線PC的斜率為k,則直線QC的斜率為-k,
直線PC的方程為:y=k(x-1)+1,直線QC的方程為y=-k(x-1)+1,
y=k(x-1)+1
x2+3y2-4=0
得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*)
∵點C(1,1)在橢圓上,
∴x=1是方程(*)的一個根,則其另一根為
3k2-6k-1
1+3k2
,設P(xP,yP),?Q(xQ,yQ),xP=
3k2-6k-1
1+3k2
,同理xQ=
3k2+6k-1
1+3k2

kPQ=
yP-yQ
xP-xQ
=
k(xP+xQ)-k
xP-xQ
=
k•(
3k2-6k-1
1+3k2
+
3k2+6k-1
1+3k2
)-k
3k2-6k-1
1+3k2
-
3k2+6k-1
1+3k2
=
1
3

而由對稱性知B(-1,-1),又A(2,0),
∴kAB=
1
3

∴kPQ=kAB,
AB
PQ
共線,且
AB
≠0,即存在實數(shù)λ,使
PQ
AB
點評:本題考查的知識點是橢圓的方程,直線與橢圓的綜合應用,向量共線的充要條件,其中(2)綜合了聯(lián)立方程,設而不求,韋達定理,向量共線,斜率公式等諸多知識點,綜合性強,運算強度大,屬于難題.
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n2-9n+222
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