Question

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|．
（I）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
（II）如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實數(shù)λ，使

PQ

=λ

AB

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)長軸求得a，點A是長軸的一個頂點可求得A的坐標(biāo)．根據(jù)

AC

•

BC

=0 ， |

BC

|=2|

AC

|判斷△AOC是等腰直角三角形，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)代入橢圓的方程求得b，最后可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線PC的方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后根據(jù)△＞0判斷k的范圍．設(shè)點P（x₁，y₁）由韋達(dá)定理可求得x₁和y₁關(guān)于k的表達(dá)式，直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形推斷直線CP、CQ的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而得到k的范圍，同樣的設(shè)點Q（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₂和y₂關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)橢圓是中心對稱圖形求得點B的坐標(biāo)，根據(jù)

PQ

和

AB

關(guān)系得證．

解答：解：（I）以O(shè)為原點，OA為X軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），則橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1…2′
∵O為橢圓中心，∴由對稱性知|OC|=|OB|
又∵

AC

•

BC

=0，∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC|∴|OC|=|AC|
∴△AOC為等腰直角三角形
∴點C的坐標(biāo)為（1，1）∴點B的坐標(biāo)為（-1，-1）…4
將C的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程得b2=

4

3

，
則求得橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1…6′
（II）由于∠PCQ的平分線垂直于OA（即垂直于x軸），不妨設(shè)PC的斜率為k，則QC的斜率為-k，因此PC、QC的直線方程分別為y=k（x-1）+1，y=-k（x-1）+1
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0*）…8′
∵點C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個根，∴x_P•1=

3k2-6k-1

3k2+1

即x_P=

3k2-6k-1

3k2+1

同理x_Q=

3k2+6k-1

3k2+1

…9′
∴直線PQ的斜率為

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k• 2(3k2-1) 3k2+1 -2k

-12k 3k2+1

=

1

3

（定值）…11′
又∠ACB的平分線也垂直于OA
∴直線PQ與AB的斜率相等（∵k_AB=

1

3

）
∴向量

PQ

∥

AB

，即總存在實數(shù)λ，使

PQ

=λ

AB

成立．…12′

點評：本題以向量為載體，主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和平面向量的知識．能考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力．