【題目】已知橢圓 +y2=1,A,B,C,D為橢圓上四個動點,且AC,BD相交于原點O,設A(x1 , y1),B(x2 , y2)滿足 =
(1)求證: + = ;
(2)kAB+kBC的值是否為定值,若是,請求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則,請說明理由.

【答案】
(1))證明:分別連接AB、BC、CD、AD,∵AC、BD相交于原點O,

根據(jù)橢圓的對稱性可知,AC、BD互相平分,且原點O為它們的中點.

則四邊形ABCD為平行四邊形,故 ,即 + =


(2)解:∵ = ,∴4y1y2=x1x2,

若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時),不滿足4y1y2=x1x2;

直線AB的斜率存在且不為0時,設直線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.

△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2﹣m2+1)>0,①

∵4y1y2=x1x2,又 ,

,

整理得:k=

∵A、B、C、D的位置可以輪換,∴AB、BC的斜率一個是 ,另一個就是

∴kAB+kBC= ,是定值.

不妨設 ,則

設原點到直線AB的距離為d,則

= ≤1.

當m2=1時滿足①取等號.

∴S四邊形ABCD=4SAOB≤4,即四邊形ABCD面積的最大值為4


【解析】(1)由題意可得四邊形ABCD為平行四邊形,故 ,即 + = ;(2)由 = ,得4y1y2=x1x2 , 若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時),不滿足4y1y2=x1x2;當直線AB的斜率存在且不為0時,設直線方程為y=kx+m,A(x1 , y1),B(x2 , y2).聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系求得A,B的橫坐標的和與積,結合4y1y2=x1x2
求得k,把三角形AOB的面積化為關于m的函數(shù),利用基本不等式求其最值,進一步得到四邊形ABCD面積的最大值.

練習冊系列答案
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年輕人

非年輕人

總計

經(jīng)常使用微信支付

165

225

不常使用微信支付

合計

90

300

根據(jù)表中數(shù)據(jù),我們得到的統(tǒng)計學的結論是:由__________的把握認為“使用微信支付與年齡有關”。

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