【題目】如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰為點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若直線與底面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）如圖，連接，證明和，平面即得證；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 利用向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

（1）證明：

如圖，連接，則平面，

因?yàn)?/span>平面 ，

在等腰梯形中，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，

則

因此滿足

又面

所以平面 .

（2）

由（1）知兩兩垂直，

平面

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)平面的法向量，由得

可得平面的一個(gè)法向量

平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為

則.

因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年底全國(guó)已開(kāi)通基站13萬(wàn)個(gè)，部分省市的政府工作報(bào)告將“推進(jìn)通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點(diǎn)工作，今年一月份全國(guó)共建基站3萬(wàn)個(gè).

（1）如果從2月份起，以后的每個(gè)月比上一個(gè)月多建設(shè)2000個(gè)，那么，今年底全國(guó)共有基站多少萬(wàn)個(gè).（精確到0.1萬(wàn)個(gè)）

（2）如果計(jì)劃今年新建基站60萬(wàn)個(gè)，到2022年底全國(guó)至少需要800萬(wàn)個(gè)，并且，今后新建的數(shù)量每年比上一年以等比遞增，問(wèn)2021年和2022年至少各建多少萬(wàn)個(gè)オ能完成計(jì)劃？（精確到1萬(wàn)個(gè)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，，是軸的正半軸上一點(diǎn)，交橢圓于，且，的內(nèi)切圓半徑為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)境意識(shí)，某中學(xué)隨機(jī)抽取了50名學(xué)生舉行了一次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，本次競(jìng)賽的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分100分）整理，制成下表：

成績(jī)

頻數(shù)

2

3

14

15

14

4

（1）作出被抽查學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖；

（2）若從成績(jī)?cè)?/span>中選一名學(xué)生，從成績(jī)?cè)?/span>中選出2名學(xué)生，共3名學(xué)生召開(kāi)座談會(huì)，求組中學(xué)生和組中學(xué)生同時(shí)被選中的概率？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)且）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)；

①設(shè)，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

②求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；

（Ⅱ）設(shè)集合，若，求的取值范圍（用表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教研組，在高三理科一班進(jìn)行了一次“采用兩種不同方式進(jìn)行答卷”的考試實(shí)驗(yàn)，第一種做卷方式：按從前往后的順序依次做；第二種做卷方式：先做簡(jiǎn)單題，再做難題.為了比較這兩種做卷方式的效率，選取了名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組人.第一組學(xué)生用第一種方式，第二組學(xué)生用第二種方式，根據(jù)學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)（單位：分）繪制了莖葉圖如圖所示.

若分（含分）以上為優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖估計(jì)兩種做卷方式的優(yōu)秀率；

設(shè)名學(xué)生考試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為，根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)下面的列聯(lián)表：

超過(guò)中位數(shù)的人數(shù)

不超過(guò)中位數(shù)的人數(shù)

合計(jì)

第一種做卷方式

第一種做卷方式

合計(jì)

根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為兩種做卷方式的效率有差異？

附：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面平面ABCD，，E是SB的中點(diǎn)，M是CD上任意一點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，，平面SAD，求直線BM與平面SAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹(shù)的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元／千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)為（單位：元）．

（Ⅰ）求的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BCC1B1，AC＝AB1．

（1）求證：平面ABC1⊥平面AB1C；

（2）若AB＝BC＝2，∠BCC1＝60°，求二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值．

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