Question

【題目】在直三棱柱中， ,∠ACB=90°,Ｍ是 的中點(diǎn)，Ｎ是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：MN∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（1）找中點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行（2）要求二面角的余弦值應(yīng)該先找出二面角的平面角，本題可以先找出要求角的補(bǔ)角，求出補(bǔ)角的余弦值，再求結(jié)果

解析：（Ⅰ）如圖所示，取B1C1中點(diǎn)D，連結(jié)ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1

又DN＝ ∴四邊形A1MND為平行四邊形。

∴MN∥A1 D 又MN 平面A1B1C1,AD1平面A1B1C1 ∴MN∥平面-

（Ⅱ）在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于點(diǎn)E，A1C1于點(diǎn)F,

則CE為BE在平面ACC1A1上的射影，∴BE⊥C1M, ∴∠BEF為二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC=

∴ cos∠BEC=.

二面角的平面角與∠BEC互補(bǔ)，所以二面角的余弦值為