Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|
（Ⅰ）當a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集為{x|0≤x≤2}，

1

m

+

1

2n

=a（m＞0，n＞0）．求證：m+2n≥4．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式

分析：對第（1）問，將a=2代入函數(shù)的解析式中，利用分段討論法解絕對值不等式即可；
對第（2）問，先由已知解集{x|0≤x≤2}確定a值，再將“m+2n”改寫為“（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）”，展開后利用基本不等式可完成證明．

解答： 解：（I）當a=2時，不等式f（x）≥4-|x-1|即為|x-2|≥4-|x-1|，
①當x≤1時，原不等式化為2-x≥4+（x-1），得x≤-

1

2

，
故x≤-

1

2

；
②當1＜x＜2時，原不等式化為2-x≥4-（x-1），得2≥5，
故1＜x＜2不是原不等式的解；
③當x≥2時，原不等式化為x-2≥4-（x-1），得x≥

7

2

，
故x≥

7

2

．
綜合①、②、③知，原不等式的解集為(-∞，-

1

2

]∪[

7

2

，+∞)．
（Ⅱ）證明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，從而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集為{x|0≤x≤2}，
∴

-1+a=0 1+a=2

得a=1，∴

1

m

+

1

2n

=a=1．
又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）=2+（

2n

m

+

m

2n

）≥2+2

2n m • m 2n

=4，
當且僅當

2n

m

=

m

2n

即m=2n時，等號成立，此時，聯(lián)立

1

m

+

1

2n

=1，得

m=2 n=1

時，m+2n=4，
故m+2n≥4，得證．

點評：1．已知不等式的解集求參數(shù)的值，求解的一般思路是：先將原不等式求解一遍，再把結(jié)果與已知解集對比即可獲得參數(shù)的值．
2．本題中，“1”的替換很關(guān)鍵，這是解決此類題型的一種常用技巧，應(yīng)注意體會證明過程的巧妙性．