Question

（本小題滿分12分）
已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：
的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cot∠MON ≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存
在，請說明理由.

Answer 1

（I）解法一：直線， ①
過原點(diǎn)垂直的直線方程為， ②
解①②得
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.
 故橢圓C的方程為 ③
解法二：直線.
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，
   ∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.
 故橢圓C的方程為 ③
（II）解法一：設(shè)M（），N（）.
當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

 


點(diǎn)O到直線MN的距離
即

即
整理得
當(dāng)直線m垂直x軸時，也滿足.
故直線m的方程為
或或
經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.
所以所求直線方程為或或
解法二：設(shè)M（），N（）.

當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得
 
∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=
以下與解法一相同.
解法三：設(shè)M（），N（）.
設(shè)直線，代入③，整理得



即


∴=，整理得      
解得或
故直線m的方程為或或
經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為
所以所求直線方程為或或解析