Question

【題目】已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點到漸近線的距離為.

(1)求此雙曲線的方程；

(2)設P為雙曲線上一點，A，B兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB的面積.

Answer 1

【答案】(1)－x2＝1；(2)2.

【解析】

（1）利用一條漸近線的離心率為2，和頂點到漸近線的距離列出兩個等式結(jié)合求得可得雙曲線方程；

（2）設A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，說明P是AB的中點，由中點坐標公式得P點坐標，代入雙曲線方程可求得，設∠AOB＝2θ，則有tan＝2，由此可求得sin 2θ，再有|OA|＝m，|OB|＝n，面積易求．

(1)依題意得解得

故雙曲線的方程為－x2＝1.

(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，設A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由得點P的坐標為.

將點P的坐標代入－x2＝1，

整理得mn＝1.

設∠AOB＝2θ，∵tan＝2，

則tan θ＝，從而sin 2θ＝.

又|OA|＝m，|OB|＝n，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin 2θ＝2mn＝2.