Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2+1

-ax（a∈R）．
（1）當a＞0時，解關(guān)于x的不等式f（x）≤1；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，解不等式

x2+1

≤1+ax（a＞0）?即 

x≥0 (a2-1)x+2a≥0

，通過對a0＜a＜1與a≥1討論解決即可；
（2）利用f′（x）=

x

1+x2

-a≥0或f′（x）=

x

1+x2

-a≤0，可求得a的關(guān)系式，通過構(gòu)造函數(shù)u（x）=

x

1+x2

，可求得u（x）∈[0，1），從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）不等式f（x）≤1，即

x2+1

≤1+ax，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常數(shù)a＞0．
所以，原不等式等價于

x2+1≤(1+ax)2 x≥0

，
即 

x≥0 (a2-1)x+2a≥0

，
所以，當0＜a＜1時，所給不等式的解集為{x|0≤x≤

2a

1-a2

}；
當a≥1時，所給不等式的解集為{x|x≥0}．----------7
（2）∵f′（x）=

x

1+x2

-a≥0或f′（x）=

x

1+x2

-a≤0，．
則a≤

x

1+x2

或a≥

x

1+x2

恒成立，
而u（x）=

x

1+x2

=

0，x=0 1 1+ 1 x2 ，x≠0

∈[0，1），
∴a≥1或a≤0------------14

點評：本題考查無理不等式的解法，考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論分析，著重考查推理與運算能力，屬于難題．