設函數(shù) ．
（1） 當時，求函數(shù)的極值；
（2）若，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（3）在（2）的條件下，設是在區(qū)間內(nèi)的零點，判斷數(shù)列的增減性.

（1）極大值，無極小值；（2）詳見解析；（3）數(shù)列是單調(diào)遞減.

解析試題分析：（1）當時，函數(shù)，于是可利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值；
（2）當時，
要證在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，只要證在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且即可；
（3）先求和，再根據(jù)得到，結(jié)合（2）的結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，從而得到，結(jié)論得證.
解：（1）由已知，得：

由得：
當時，單調(diào)遞增
當時，單調(diào)遞減
所以是函數(shù)的極大值點，無極小值點
故的極大值為，無極小值.
（2）由已知，得：
∴易得：  于是在區(qū)間內(nèi)存在零點；
又當時，恒成立
∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的
故在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點．                   （8分）
解:（3）：數(shù)列是單調(diào)遞減的. 理由如下：       （9分）
由（2）設 是在內(nèi)唯一的零點，
則
又，
于是
即
由（2）在上是單調(diào)遞增的，
∴當時，．
故數(shù)列是單調(diào)遞減的.                  （14分）
考點：1、函數(shù)的零點存在性的判斷；2、導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應用；3、利用函數(shù)的思想解決數(shù)列的單調(diào)性問題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，已知曲線在點處的切線方程是．
（1）求的值；并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，．若
(1)求的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間及極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，，其中為實數(shù),若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設f(x)是定義在區(qū)間(1，＋∞)上的函數(shù)，其導函數(shù)為f′(x)．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)．
(1)設函數(shù)f(x)＝ln x＋ (x＞1)，其中b為實數(shù)．
①求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；
②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)．給定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，設m為實數(shù)，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點和，直線，直線（其中，為常數(shù)）；若直線與函數(shù)的圖像以及直線與函數(shù)以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（1）求；
（2）求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的解析式；
（3）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（R），為其導函數(shù)，且時有極小值．
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若，，當時，對于任意x，和的值至少有一個是正數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若不等式（為正整數(shù)）對任意正實數(shù)恒成立，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在時取得極值，求實數(shù)的值；
（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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